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Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

 

Exemplo

 

De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?

 

Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10, 5:

 

C10, 5 =  10!/ 5! (10-5)

 

Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C6, 5:

 

C10, 5= 10 . 9 . 8 .7. 6. 5!/ 5!5!

 

C10, 5 = 30240/240 = C10, 5 = 252

 

Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C6, 5:

 

C 6,5 = 6! / 5! (6-5)

 

C6,5= 6 . 5 / 5! 1!

 

C6,5 = 6

 

Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao único item de proteína:

     

C6, 4 = 6! / 4! (6-4)  = C 6,4 = 6.5.4/4!2! = C6,4 = 30/2 = C6,4 = 15

 

C4,1 = 4!/1! (4-1) = C4,1 = 4.3!/1!3! = C4,1 = 4

 

 

Multiplicando as combinações: C6,4 . C 4,1 = 15 . 4 = 60

 

Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.

 

Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si você mesmo deverá fazer, para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, não deixe de fazê-lo.

O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.

Já o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.

Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de proteína.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto: O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.