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Equações de 2º grau

 

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

 

ax2 + bx + c = 0; a, b, c   IR e a ≠ 0

   

Exemplo:

• x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

• 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

• 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.

• x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

 

Equação completas e Incompletas

 

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

 

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

 

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

 

• x² - 36 = 0(b = 0)

• x² - 10x = 0(c = 0)

• 4x² = 0(b = c = 0)

 

Raízes de uma equação do 2º grau

 

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

"Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira."

   

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equaçãox² - x - 2 = 0 ?

 

Solução

Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

 

Caso 1

Para x = -1

(-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 0
0 = 0

(V)

 

 

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.SoluçãoSubstituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.

 

(2p - 1) . 2² - 2p . 2 - 2 = 0

(2p - 1) . 4 – 4p – 2 = 0

8p - 4 - 4p -2 = 0

4p - 6 = 0

4p = 6

p = 4/6 = p = 3/2

 

•  Logo, o valor de p é 3/2 .

 

Discriminante

 

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara.

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar.

 

1º Caso: O discriminante é positivo .

 

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter.

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

 

2º Caso: O discriminante é nulo.

 

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:                     

Exemplo:

Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.

Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

   Logo, o valor de p é 3.

 

 

3º Caso: O discriminante é negativo ( Δ < 0 ).

O valor de √Δ não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
       

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

 

Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter Δ > 0                 

 

b² - 4 ac <0

6² - 4.3 . m < 0

36 - 12 . m < 0                    →  Multiplicamos ambos os membros  por -1

-12 . m > -36

12 . m > 36

m > 3

 

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

 

  Resumindo

 

  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:

  Para ∆ > 0 , a equação tem duas raízes reais diferentes.
  Para ∆ = 0 , a equação tem duas raízes reais iguais.
  Para ∆ < 0 , a equação não tem raízes reais.