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A fatoração de expressões algébricas tem por objetivo representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de termos.

Pode ser que você ainda não saiba como funciona a fatoração de expressões algébricas ou, simplesmente, a fatoração de polinômios, mas provavelmente já deve ter feito a fatoração de algum número.

Observe que, com a fatoração do número 27, ele ficará expresso como o produto 3 . 3 . 3 = 27. Esse processo acontece de forma bem semelhante com as expressões algébricas. 

 

Quando fatoramos um polinômio, também pretendemos expressá-lo por meio de uma multiplicação.

Mas por que utilizar a fatoração?

 

Vejamos um exemplo numérico: qual é o resultado de 1524² – 1523²? Antes que você comece a resolver, saiba que através da fatoração conhecida como “diferença de dois quadrados” é possível utilizar apenas uma adição para chegar à resposta desse cálculo. Veja como:

 

1524² – 1523² = (1524 + 1523) . (1524 – 1523) = (1524 + 1523) . 1 = 3.047

 

Bem mais fácil do que resolver as potências, não é mesmo? O objetivo da fatoração é simplificar os cálculos. Em geral, a fatoração de expressões algébricas é extremamente útil para simplificar cálculos com polinômios, isentando-nos de muitos cálculos desnecessários.

 

1º caso de fatoração: fator comum

 

Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração pode ser aplicado.
São sete os casos diferentes utilizados na fatoração de expressões algébricas. O primeiro caso é a fatoração por meio do termo em comum ou colocação de termos em evidência.
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:

a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorá-la:

É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.

 

a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.

Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:

a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.

ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.

Portanto, a – ab = a (1 – b)
                                     ↓
                                Termos
                            em evidência

a³ – 4a² é uma expressão algébrica, veja como fatorá-la:

Essa expressão algébrica tem 2 monômios a³ e 4a². Eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o a3 ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a².

Devemos dividir a³ e 4a² por a², assim:

a³ : a² = a, pois a³ = a .a .a, então a . a . a : a² é o mesmo que 1a = a.

4a² : a² = 4, pois a² : a² = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.

Portanto, a³ – 4a² = a² (a – 4). 
                                        ↓ 
                                   Termos 
                              em evidência

x⁴- 2x³ + x² + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios. Eles têm termos em comum. Como esses termos têm mesma base, devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.

O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x² , x² e x, assim:

x⁴ : x = x³, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

2x³ : x = 2x², pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x² : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.

Portanto, x⁴ - 2x³ + x² + x = x (x³ – 2x² + x + 1).
                                                         ↓
                                                    Termos
                                                em evidência 

4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3. Com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.

Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:

4r : 4 = 1r ou r

12 : 4 = 3

Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3) 
                                     ↓
                                Termos
                            em evidência 

Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:

(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
          ↓                    ↓
   1º termo          2º termo

O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.

Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:

[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)

2 (x + 1) : (x + 1) = 2

Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
                                                  ↓
                                           Termos
                                       em evidência

Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:

Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:

Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.

 

2º caso de fatoração: Agrupamento

 

Agrupamento é o segundo caso de fatoração, para utilizá-lo devemos ter conhecimento do primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência. 

Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja: 

Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes. 

Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento. 

ab + 3b + 7a + 21 
          ↓    ↓ 
b termo    7 é o termo comum 
comum 

Então: b (a + 3) + 7 (a + 3) 

Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum 
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração: 

b (a + 3) + 7 (a + 3) 
(a + 3) (b + 7) 

Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).

 

3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito

 

A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.
Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.

Trinômio 

Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios:

x³ + 2x² + 2x

- 2x5 + 5y – 5

ac + c – b

É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.

Quadrado perfeito

Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:

Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 62 = 36.

Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) abaixo com lados x + y. O valor desse lado é uma expressão algébrica.
 

x²    x.y   

x.y    y²

Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2, então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)², então podemos dizer que:

O resultado dessa área A1 = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A² = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A² = x² +2xy + y²

O resultado da área A² = x² +2xy + y² é um trinômio.

As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

  A¹       =         A²
(x + y)² = x² +2xy + y²

Então, o trinômio x² +2xy + y² tem como quadrado perfeito (x + y)².

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².

Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação:

Quando um trinômio é quadrado perfeito

O quadrado perfeito (x + y)² é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x²+2xy + y². O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.

Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito.

Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que:

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja alguns exemplos:

Veja se o trinômio 9a² - 12ab + 4b² é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas.
 

9a² - 12ab + 4b²

 

√9a²                      √4b²

 

3a                           2b

      

2. 3a . 2b

Dois membros do trinômio 9a² - 12ab + 4b² têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio 9a² - 12ab + 4b² é (3ª – 2b)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo:

Dado o trinômio 4x² -8xy+y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y², as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

 

4º caso de fatoração: Trinômio do tipo x² + Sx + P

 

O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em forma de trinômio. 
A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de trinômio do tipo x2 + Sx + P, onde S é soma e P é produto. 

Veja os exemplos: 

Dada a expressão algébrica y² – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. 

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x² + Sx + P. Dada a expressão  y² – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6. 

Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6: 

2 . 3 = 6 

(- 2) . (- 3) = 6 

6 . 1= 6 

- 6 . (- 1) = 6 

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será: 

(y – 2) (y – 3). 

Dada a expressão m2 + 7m – 8, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8: 

- 1 . 8 = - 8 

1 . (-8) = - 8 

4 . (- 2) = - 8 

- 4 . 2 = - 8 

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será: 

(m – 1) (m + 8). 

Dado a expressão x2 + 4x – 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja – 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12: 

1 .(-12) = -12 

-1 . 12 = -12 

6 . (-2) = -12 

- 6 . 2 = -12 

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será: 

(x + 6) (x – 2)

 

 

5º caso de fatoração: Diferença de dois quadrados.

 

O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência). 

Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando: 

-Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios forem quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: 


• a2 - 16 

• 1 – a2 
  3 

• 4x2 – b2 


Como fazer essa fatoração 

Dada a expressão algébrica 9x2 – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. 




A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9). 

Veja alguns exemplos: 

Exemplo 1: 
A expressão algébrica x2 – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2). 


Exemplo 2: 
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5). 

Exemplo 3: 
Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y). 
 

 

 

6ºcaso de fatoração: Soma de dois cubos

O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência).

Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração:

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;

x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;

x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(3x)3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).

Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)

(x – 1) (x2 –x + 1)

Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)

(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)