Hora

Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

 

an = an -1 + r (n ≥ 2)

 

A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

 

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

 

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

 

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente

 

Termo geral da PA

 

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r

 

an = an -1 + r = a1 + (n -1)r

 

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

 

an = a1+ (n - 1)r

 

Propriedades de uma PA

 

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

 

ak = ak -1 + ak + 1 , ( K ≥ 2)

                                                                                              2

 

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

 

 a5 = a4 + a6

         2

 

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

 

a1,a2,a3,a4,...., an - 3, an - 2, an-1, an

 

a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = a4 + an - 3 = …. = a1 + an

 

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

 

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

 

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

 

a4 = a1 + a7 = 1 + 19 =10

                                                                                            2           2

 

Soma dos termos de uma PA finita

 

É dada pela fórmula:

 

Sn = (a1 + an) n

        2